法拉第第一定律将目标电极容量转换为所需的电化学活性物质的理论质量。对于每个配方单位转移 (n) 个电子的材料，可根据 (m = \frac{MQ}{nF}) 计算所需质量，其中 (M) 为摩尔质量，(Q) 为电荷量，(F) 为法拉第常数。在实际电池工作中，该理论质量需根据活性物质利用率和电极复合材料中活性物质的占比进行调整。
核心要点：首先根据目标容量计算理想的活性物质质量，然后增加该质量以考虑不完全利用和电极配方的影响。最终的电极质量还包括导电添加剂、粘结剂、集流体以及任何其他非活性成分。
将容量转换为活性物质质量
基本方程
法拉第第一定律为：
[ m=\frac{MQ}{nF} ]
其中：
- (m) = 活性物质质量，通常以克 (g) 为单位
- (M) = 活性物质的摩尔质量，以 g/mol 为单位
- (Q) = 总电荷量，以库仑 (C) 或安培小时 (Ah) 为单位
- (n) = 每个配方单位转移的电子数
- (F) = 法拉第常数，(96{,}485\ \mathrm{C/mol})，或约 (26.8\ \mathrm{Ah/mol})
当容量以安培小时表示时：
[ m;(\mathrm{g})= \frac{M;(\mathrm{g/mol})\times Q;(\mathrm{Ah})} {n\times 26.8;(\mathrm{Ah/mol})} ]
使用理论比容量
一个便捷的电池计算公式为：
[ q_{\mathrm{th}}=\frac{nF}{M} ]
在实际单位中：
[ q_{\mathrm{th}};(\mathrm{mAh/g})
\frac{n\times 26.8\times 1000}{M} ]
由此可直接计算所需的活性物质质量：
[ m_{\mathrm{active}};(\mathrm{g})
\frac{Q_{\mathrm{target}};(\mathrm{mAh})} {q_{\mathrm{th}};(\mathrm{mAh/g})} ]
这种形式对于实验室电极设计通常最简单，因为电池容量通常以 mAh 为单位，而活性物质载量以 mg 为单位。
将计算应用于电极制造
第一步：定义目标容量
从活性物质必须提供的容量开始。
例如，假设电极旨在提供：
[ Q_{\mathrm{target}}=10\ \mathrm{mAh} ]
这可以基于所需的面积容量、电极尺寸或预期的电池容量。
第二步：确定电子转移数
(n) 的值来自平衡的电化学反应。
对于锌氧化：
[ \mathrm{Zn \rightarrow Zn^{2+}+2e^-} ]
因此，(n=2)。
对于涉及以下过程的铜沉积或溶解：
[ \mathrm{Cu^{2+}+2e^- \rightleftharpoons Cu} ]
电子转移数也为 (n=2)。
第三步：计算理论比容量
对于锌，(M=65.38\ \mathrm{g/mol})：
[ q_{\mathrm{th}}
\frac{2\times 26.8\times 1000}{65.38} \approx 820\ \mathrm{mAh/g} ]
对于铜，(M=63.55\ \mathrm{g/mol})：
[ q_{\mathrm{th}} \approx 844\ \mathrm{mAh/g} ]
这些值代表基于材料完全利用的理想容量。
第四步：计算理想活性物质质量
对于 10 mAh 的目标：
[ m_{\mathrm{Zn}}
\frac{10}{820} \approx 0.0122\ \mathrm{g}
12.2\ \mathrm{mg} ]
同样，对于铜：
[ m_{\mathrm{Cu}}
\frac{10}{844} \approx 0.0118\ \mathrm{g}
11.8\ \mathrm{mg} ]
等效地，在这些反应下，一个理论安培小时大约需要 1.22 克锌 或 1.18 克铜。
针对实际电极修正理想结果
考虑活性物质利用率
由于动力学限制、电子或离子电阻、副反应、润湿不完全和结构退化，实验室电极很少能达到其理论容量。
如果预期利用率为 (80%)：
[ m_{\mathrm{required}}
\frac{m_{\mathrm{theoretical}}}{0.80} ]
对于 10 mAh 的锌示例：
[ m_{\mathrm{required}}
\frac{12.2}{0.80} \approx 15.3\ \mathrm{mg} ]
这是在假设利用率下实现目标容量所需的活性物质质量。
考虑电极组成
活性物质只是复合电极的一部分。假设干电极包含：
- 80 wt% 活性物质
- 10 wt% 导电添加剂
- 10 wt% 粘结剂
如果所需的活性物质质量为 (15.3\ \mathrm{mg})，则总干复合材料质量为：
[ m_{\mathrm{composite}}
\frac{15.3}{0.80} \approx 19.1\ \mathrm{mg} ]
因此，大致质量为：
- 活性物质：(15.3\ \mathrm{mg})
- 导电添加剂：(1.9\ \mathrm{mg})
- 粘结剂：(1.9\ \mathrm{mg})
集流体质量通常单独计算，因为它不贡献活性容量。
在适当情况下包含过量容量
对于全电池，正负极的尺寸通常不会被设计为具有完全相等的理论容量。研究人员通常应用容量平衡因子，例如选定的 N/P 比，以防止一个电极成为限制性组件。
因此，法拉第计算中使用的容量目标应反映预期的电池平衡，而不仅仅是单个电极的标称容量。
将质量与面积载量联系起来
计算所需的面积容量
如果电极面积为 (A)：
[ q_{\mathrm{areal}}
\frac{Q_{\mathrm{target}}}{A} ]
例如，一个活性面积为 (2\ \mathrm{cm^2}) 的 10 mAh 电极具有：
[ q_{\mathrm{areal}}=5\ \mathrm{mAh/cm^2} ]
计算活性物质载量
活性物质载量为：
[ L_{\mathrm{active}}
\frac{m_{\mathrm{active}}}{A} ]
使用 15.3 mg 经利用率修正的锌在 (2\ \mathrm{cm^2}) 上：
[ L_{\mathrm{active}}
\frac{15.3}{2}
7.65\ \mathrm{mg/cm^2} ]
该载量可与电极设计中可实现的涂层厚度、孔隙率和质量传输要求进行比较。
使用称重验证制造的载量
涂覆并干燥后，在涂覆前后称量集流体：
[ m_{\mathrm{coating}}
m_{\mathrm{coated\ collector}}
m_{\mathrm{bare\ collector}} ]
如果已知成分，则估计活性物质质量为：
[ m_{\mathrm{active}}
w_{\mathrm{active}}m_{\mathrm{coating}} ]
其中 (w_{\mathrm{active}}) 是活性物质质量分数。
应使用此测量载量进行容量计算，而不是仅依赖预期的浆料配方。
将法拉第定律与电池测试联系起来
随时间积分电流
当电流不恒定时，转移的电荷为：
[ Q=\int i(t),dt ]
对于恒定电流：
[ Q=It ]
电池循环测试仪会对充电或放电期间测量的电流进行积分，以确定实际提供的容量。
比较测量容量与理论容量
活性物质利用率可估计为：
[ \eta_{\mathrm{utilization}}
\frac{q_{\mathrm{measured}}} {q_{\mathrm{theoretical}}} ]
其中两种容量均以活性物质的 mAh/g 表示。
这种比较有助于确定性能低下是由活性物质不足、导电性差、离子传输受限、副反应还是质量测量不准确引起的。
理解权衡
理论质量不保证是可用质量
法拉第定律假设相关的电化学反应完全且可逆地进行。实际电极可能只能利用理论容量的一部分。
因此，在没有利用率修正的情况下使用理论质量可能会导致电极表现低于其目标容量。
活性物质并非越多越好
增加活性物质载量可能会提高总容量，但厚或高度压实的电极可能会经历较差的电解质渗透、更长的离子传输路径和更大的极化。
合适的载量是容量、倍率性能、机械完整性和可重复性之间的平衡。
压实影响结构，而非法拉第化学计量
实验室压片机可以产生受控的厚度、密度和颗粒间的接触，这提高了电极间的一致性。然而，压实并不会改变法拉第定律所需的理论质量。
过度压实会降低孔隙率并阻碍电解质进入，而压实不足则会增加接触电阻或导致机械稳定性差。
质量误差在小规模下变得显著
实验室电极可能仅包含几毫克的活性物质。因此，天平分辨率、残留溶剂、水分吸收、涂层不均匀性和集流体差异可能会引入巨大的容量计算误差。
在受控条件下进行干燥、称重和记录活性面积至关重要。
如何将其应用于您的电极设计
使用以下工作流程将容量目标转换为制造质量：
- 如果您的主要重点是理论尺寸： 计算 (m=MQ/(nF))，或将目标容量 (mAh) 除以理论比容量 (mAh/g)。
- 如果您的主要重点是实际电池性能： 在制备电极之前，将理论质量除以预期的活性物质利用率。
- 如果您的主要重点是浆料配方： 将所需的活性物质质量除以其干质量分数，以获得总复合材料质量。
- 如果您的主要重点是电极比较： 以 mg/cm² 为单位报告活性物质载量，并通过称量干燥涂层进行验证。
- 如果您的主要重点是可重复的实验室测试： 控制干燥、涂层面积、压实条件、厚度和密度，然后使用测量质量和积分测试容量进行最终分析。
法拉第第一定律提供了化学计量的起点，而利用率、配方和测量载量决定了制造的电极是否达到其预期的实际容量目标。
总结表：
| 步骤 | 描述 | 公式/示例 |
|---|---|---|
| 1. 定义目标容量 | 指定所需容量（例如 10 mAh） | Q_target = 10 mAh |
| 2. 确定电子转移 | 来自平衡反应的 n（例如 Zn → Zn²⁺ + 2e⁻） | n = 2 |
| 3. 计算理论比容量 | q_th = (n × 26.8 × 1000) / M | 对于 Zn: q_th ≈ 820 mAh/g |
| 4. 计算理想质量 | m_ideal = Q_target / q_th | m_Zn = 10 / 820 ≈ 12.2 mg |
| 5. 调整利用率 | m_required = m_ideal / η（例如 η = 0.8） | m_req = 12.2 / 0.8 ≈ 15.3 mg |
| 6. 调整复合材料组成 | m_composite = m_required / 活性物质分数 | 对于 80% 活性，m_composite = 15.3 / 0.8 ≈ 19.1 mg |
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