内阻被建模为一种随时间变化的监测信号，其轨迹揭示了电池的退化过程。 对于在老化时间 (t) 下的电池 (i)，一个常用的模型是：
[ CM_i(t)=R_i(t)=b_{i0}+b_{i1}t+b_{i2}t^2+e_i(t) ]
其中 (R_i(t)) 是测量到的内阻，系数描述了电池的退化轨迹，(e_i(t)) 代表测量噪声。
核心思路是同时对平均电阻增长趋势以及各电池偏离该趋势的个体差异进行建模。 混合效应回归能够捕捉电池间的差异，同时使拟合的电阻轨迹能够支持寿命、可靠性和风险分析。
内阻如何成为监测信号
电阻通过受控的电响应测量得出
内阻通常不是直接观测到的，而是通过已知电流扰动下的电压响应估算得出。对于一个短促的放电脉冲：
[ R_i(t)=\frac{V_{\text{rest},i}(t)-V_{\text{loaded},i}(t)}{I_i(t)} ]
其中 (V_{\text{rest}}) 是脉冲前的电压，(V_{\text{loaded}}) 是脉冲期间的电压，(I) 是施加的电流。
典型的测试是在电池按照选定测试协议充分静置后施加高电流脉冲。由此产生的电阻估算值成为电池退化历史中的一个观测点。
电阻增长预示着老化
随着电池退化，其内阻通常会增加。这种增加降低了功率能力，因为在负载下会产生更大的电压降：
[ \Delta V \approx I R ]
因此，电阻提供了一种与电池在不产生过大电压损耗的情况下提供电流的能力直接相关的状态监测信号。
测试条件必须受控
电阻不仅取决于退化程度，还取决于温度、荷电状态 (SoC)、脉冲持续时间、电流水平和静置时间。因此，日历寿命测试需要在定义的温度和 SoC 条件下测量电阻，以防止将时间变化错误地归因于老化。
混合效应电阻模型
固定效应描述总体趋势
二次状态监测模型可以写成：
[ CM_i(t)=b_{i0}+b_{i1}t+b_{i2}t^2+e_i(t) ]
这些系数具有实际意义：
- (b_{i0})：估计的初始电阻或基准水平。
- (b_{i1})：近似线性的电阻增长率。
- (b_{i2})：退化轨迹的曲率。
- (e_i(t))：随机测量或模型误差。
二次项允许电阻增长率随老化程度而变化，而不是假设退化是恒定的。
随机效应描述电池间的变异性
电池 (i) 的系数向量为：
[ \mathbf b_i= \begin{bmatrix} b_{i0}\ b_{i1}\ b_{i2} \end{bmatrix} ]
通常建模为：
[ \mathbf b_i \sim \mathcal N(\boldsymbol\mu_b,\mathbf\Sigma_b) ]
这里，(\boldsymbol\mu_b) 代表平均电池轨迹，而 (\mathbf\Sigma_b) 代表电池间的变异性。
这种变异性可能源于制造差异，包括电极压制和电池组装。因此，两个名义上相同的电池可能以不同的电阻开始，或以不同的速率退化。
测量噪声完善了模型
误差项通常假设服从正态分布：
[ e_i(t)\sim \mathcal N(0,\sigma_e^2) ]
这区分了随机测量变异与潜在的电阻轨迹。在更通用的实现中，如果数据表现出非恒定方差，则可以允许噪声方差随操作条件或老化时间而变化。
模型如何支持退化分析
拟合轨迹平滑了噪声观测值
由于测试的可重复性和操作条件，单个脉冲测量值可能会波动。拟合混合效应模型可以估计潜在的电阻轨迹，而不是将每个测量点都视为健康状态的确定性变化。
其结果是为每个电池提供了一个更平滑、具有统计解释意义的状态监测信号。
系数提供了退化特征
拟合系数可用作与健康相关的特征：
- 高 (b_{i0}) 表示初始电阻升高。
- 高 (b_{i1}) 表示早期电阻增长迅速。
- 正的 (b_{i2}) 表示电阻增长正在加速。
- 完整的拟合曲线可以估计模型有效范围内未观测到的老化时间点的电阻。
这些特征使分析人员能够在共同的数学基础上比较电池和电池配方。
模型支持总体层面的推断
由于系数具有总体分布，该分析不仅仅是拟合单个电池。它同时估计了典型的退化行为以及由电池间差异引起的不确定性。
这些信息可用于构建可靠性或风险函数，描述电池随时间达到定义的寿命终点条件的概率。
寿命终点需要明确的阈值
仅靠电阻建模无法定义失效。研究必须指定寿命终点标准，例如电阻限制、功率性能限制或容量与电阻的综合要求。
一旦定义了阈值，就可以评估拟合轨迹以估计电池预计何时会跨越该阈值。由此产生的跨越时间分布可以支持寿命和可靠性分析。
将模型扩展到测试条件
温度和 SoC 可视为实验因素
在不同温度或 SoC 水平下测量的电阻不应在不考虑这些条件的情况下进行汇总。一种实用的方法是为每个测试条件拟合单独的轨迹，或将温度和 SoC 作为解释变量包含在内。
基本的时间依赖结构保持不变：
[ R_i(t)=\text{基准和条件效应}+\text{老化趋势}+\text{电池特定效应}+\text{噪声} ]
这防止了可逆的操作条件效应被误认为是不可逆的退化。
容量和电阻提供互补信号
容量保持率衡量电池能提供多少电荷，而电阻增长衡量其提供电流的有效程度。同时监测两者比仅依赖单一信号能更有效地辨别不同的退化表现。
因此，电阻轨迹最好被视为更广泛的电池健康模型中的一个状态监测通道。
理解权衡
二次模型有用但不具有普遍有效性
二次形式足够灵活，可以表示曲率，同时易于估计。然而，它在观测到的老化区间之外可能会进行不切实际的外推，特别是如果真实的退化过程改变了机制。
因此，应针对留存数据进行验证，并谨慎用于长期寿命预测。
测量条件可能主导表观老化
由较低温度或不同 SoC 引起的电阻增加不一定是永久性退化。不一致的脉冲协议、静置周期或电压采样可能会产生与电池老化无关的表观电阻变化。
标准化的测试条件对于有意义的轨迹比较至关重要。
正态性假设是建模选择
随机效应的多元正态分布和正态测量误差假设是方便的统计近似值。应根据残差和拟合系数分布进行检查，而不是自动接受。
如果数据表现出强偏态、离群值或非恒定方差，模型可能需要稳健误差或其他分布公式。
电阻不是完整的健康诊断
电阻升高可能预示着功率能力下降，但它不能唯一地识别潜在的退化机制。可能需要容量、温度响应、阻抗特性和其他诊断信号来解释电阻变化的原因。
为您的目标做出正确的选择
模型的使用取决于优先级是测量、比较还是预测。
- 如果您的主要重点是电阻测量： 施加受控电流脉冲，并在可重复的温度、SoC 和静置条件下计算 (R=(V_{\text{rest}}-V_{\text{loaded}})/I)。
- 如果您的主要重点是电池间比较： 拟合一个具有正态分布随机截距和轨迹系数的混合效应模型，以将总体行为与制造变异性分开。
- 如果您的主要重点是退化率估计： 使用 (b_{i1}) 和 (b_{i2}) 来量化线性和加速电阻增长，同时在预期的老化范围内验证二次形式。
- 如果您的主要重点是寿命或可靠性预测： 定义明确的电阻或性能寿命终点阈值，然后使用拟合的轨迹分布来估计阈值跨越时间和风险函数。
受控的电阻测量结合经过验证的混合效应轨迹模型，可以将原始电压脉冲数据转化为可解释的电池退化信号。
总结表：
| 模型组件 | 公式/描述 | 目的 |
|---|---|---|
| 电阻测量 | (R_i(t) = \frac{V_{rest,i}(t) - V_{loaded,i}(t)}{I_i(t)}) | 根据电流脉冲的电压响应估算内阻。 |
| 二次混合效应模型 | (CM_i(t) = b_{i0} + b_{i1}t + b_{i2}t^2 + e_i(t)) | 利用固定（总体）和随机（电池特定）效应建模电阻轨迹。 |
| 固定效应 | (b_{i0}, b_{i1}, b_{i2}) | 描述总体基准、线性增长率和曲率。 |
| 随机效应 | (\mathbf{b}_i \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}_b, \mathbf{\Sigma}_b)) | 捕捉系数在电池间的变异性。 |
| 测量噪声 | (e_i(t) \sim \mathcal{N}(0, \sigma_e^2)) | 考虑随机测量误差。 |
| 寿命终点标准 | 定义的阈值（例如电阻限制） | 与拟合轨迹一起用于预测失效时间。 |
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