目标金属的萃取效率通过分配比与相比的乘积计算得出：
[
%E_S=100\left(\frac{D_Sv}{1+D_Sv}\right)
]
其中，(D_S) 是目标金属在有机相和水相之间的平衡浓度比，(v) 是有机相与水相的体积比（相比）。
关键要点： (D_Sv) 的乘积决定了萃取性能。增加金属的分配比或有机相的相对体积，都能提高从水相原料中转移出的金属比例，尽管随着萃取率接近 100%，这种收益会递减。
计算原理
分配比 (D_S)
分配比定义为：
[ D_S=\frac{C_{S,t(\mathrm{org})}}{C_{S,t(\mathrm{aq})}} ]
其中 (C_{S,t(\mathrm{org})}) 和 (C_{S,t(\mathrm{aq})}) 分别是目标溶质在有机相和水相中的总平衡浓度。
高 (D_S) 意味着在平衡状态下，目标金属优先存在于有机相中。萃取剂化学性质、酸度、络合作用以及竞争金属都会影响该数值。
相比 (v)
相比定义为：
[ v=\frac{V_{\mathrm{org}}}{V_{\mathrm{aq}}} ]
较大的 (v) 意味着相对于水相原料，有更多的有机相可用。即使分配比相同，改变该比例也会改变可转移的金属总量。
萃取效率公式
结合分配比和相比可得：
[ %E_S=100\left(\frac{D_Sv}{1+D_Sv}\right) ]
因此，无量纲乘积 (D_Sv) 是单级平衡萃取接触的核心设计变量。
公式推导
从质量平衡开始
假设目标金属最初存在于水相中，且在无损失的情况下达到平衡。萃取量与以下项成正比：
[ C_{S,t(\mathrm{org})}V_{\mathrm{org}} ]
剩余的水相量为：
[ C_{S,t(\mathrm{aq})}V_{\mathrm{aq}} ]
利用 (C_{S,t(\mathrm{org})}=D_SC_{S,t(\mathrm{aq})})，萃取分数为：
[ \frac{D_SC_{S,t(\mathrm{aq})}V_{\mathrm{org}}}{D_SC_{S,t(\mathrm{aq})}V_{\mathrm{org}}+C_{S,t(\mathrm{aq})}V_{\mathrm{aq}}} ]
更直接地，代入相比关系后：
[ \text{萃取分数} =\frac{D_SV_{\mathrm{org}}}{D_SV_{\mathrm{org}}+V_{\mathrm{aq}}} ]
分子和分母同时除以 (V_{\mathrm{aq}}) 得：
[ \text{萃取分数} =\frac{D_S(V_{\mathrm{org}}/V_{\mathrm{aq}})} {1+D_S(V_{\mathrm{org}}/V_{\mathrm{aq}})} =\frac{D_Sv}{1+D_Sv} ]
乘以 100 即将分数转换为百分比。
(D_Sv) 的解读
如果 (D_Sv=1)：
[ %E_S=100\left(\frac{1}{2}\right)=50% ]
如果 (D_Sv=9)：
[ %E_S=100\left(\frac{9}{10}\right)=90% ]
因此，要实现高萃取效率，需要使 (D_Sv) 足够大。
计算示例
假设目标金属的参数为：
[ D_S=10 ]
有机相与水相的体积比为：
[ v=0.20 ]
则：
[ D_Sv=10(0.20)=2 ]
因此：
[ %E_S=100\left(\frac{2}{1+2}\right)=66.7% ]
在这些平衡条件下，单次接触中约有 66.7% 的目标金属转移到有机相中。
工程师如何使用这两个变量
提高分配比
提高 (D_S) 通常通过选择或调整萃取剂体系来实现，使目标金属形成有利的有机可溶性物质。
这种方法可以在不增加有机相体积的情况下提高萃取率，从而可能减少溶剂使用量。
调整相比
增加 (v) 会增加相对于水相的有机相体积，从而在给定的 (D_S) 下提高萃取效率。
然而，使用更多的有机相可能会增加溶剂库存、设备尺寸、相分离难度以及下游溶剂管理需求。
平衡化学与工艺设计
最有效的工艺并非单纯最大化某一个变量，而是平衡萃取剂性能、选择性、有机溶剂消耗以及所需的金属回收率。
对于电池回收而言，这种平衡尤为重要，因为目标金属通常需要从其他溶解的电池成分中分离出来，而不仅仅是从一相转移到另一相。
理解权衡
高分配比并不自动意味着高选择性
目标金属的高 (D_S) 很有用，但如果不需要的金属也具有高分配比，则会导致共萃取。
因此，实际目标通常是目标金属与竞争金属之间有利的分配比差异，而不仅仅是尽可能高的 (D_S)。
增加有机相存在边际效应递减
随着 (D_Sv) 的增加，萃取方程趋近于 100%。一旦工艺已经达到高效率，加倍 (v) 并不会使萃取百分比加倍。
这就是为什么提高萃取剂性能往往比持续增加相比更具经济性。
该方程描述的是平衡接触
该公式适用于所述的单级平衡模型。实际系统可能因混合不充分、相分离受限、动力学限制、夹带、降解或非平衡操作而有所不同。
对于多级逆流萃取，单级接触方程被用作更广泛的逐级物料平衡的一部分，而不是作为最终的整体回收计算。
(D_S) 的定义必须保持一致
此计算中的分配比必须与所评估的相比对应相同的化学条件和平衡状态。
酸度、萃取剂浓度、负载量、温度或竞争溶质的变化都会改变 (D_S)，因此在不同条件下测得的数值不应盲目结合。
为您的目标做出正确选择
首先使用该方程确定萃取性能是受化学性质限制还是受相分配限制。
- 如果您的主要重点是最大化单级回收率： 增加乘积 (D_Sv)，最好通过提高 (D_S) 来实现，这样可以用更少的有机溶剂达到所需的回收率。
- 如果您的主要重点是减少有机溶剂消耗： 寻求足够高且具有选择性的 (D_S)，以便较低的相比仍能提供所需的萃取效果。
- 如果您的主要重点是电池金属的选择性分离： 优化目标金属相对于竞争金属的分配比，而不是仅仅最大化目标金属的萃取率。
- 如果您的主要重点是工艺放大： 使用该方程进行初步平衡估算，然后通过级效率、动力学、相分离和多级物料平衡来验证性能。
通过综合评估 (D_S) 和 (v)，工程师可以量化萃取效率，并在金属回收率、选择性和溶剂使用之间做出明智的权衡。
总结表：
| 变量 | 符号 | 描述 | 对萃取效率的影响 |
|---|---|---|---|
| 分配比 | D_S | 平衡时目标金属在有机相与水相中的浓度比 | 较高的 D_S 意味着有机相中有更多金属，从而提高萃取率 |
| 相比 | v | 有机相体积与水相体积之比 | 增加 v 可提供更多的有机相体积，从而增强萃取 |
| 乘积 D_S * v | D_Sv | 两个变量的无量纲乘积 | 决定萃取分数：%E = 100 * (D_Sv / (1 + D_Sv)) |
| 萃取效率 | %E_S | 单次接触中转移到有机相的目标金属百分比 | 随 D_Sv 增大而趋近 100%，但具有边际递减效应 |
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