对于锂离子电池循环寿命测试，应使用 MAE 和 RMSE 量化预测误差，然后针对容量、健康状态（SOH）和剩余使用寿命（RUL）报告经过校准的不确定性区间，通常为 68% 和 95%。应根据重复电芯测试结果拟合不确定性分布，但在检查数据之前不要假设其服从正态分布；对于高度非线性的衰减过程和寿命终止行为，经验区间、自助法区间或基于分位数的区间通常更可靠。
核心组合是点预测误差指标加不确定性校准：MAE 展示典型误差，RMSE 对较大的失效预测进行惩罚，而预测区间则显示应对每次预测结果给予多大程度的信心。
测试系统应测量的内容
容量保持率和 SOH
主要响应变量通常是容量保持率：
[ \text{容量保持率}=\frac{Q_k}{Q_0} ]
其中，(Q_0) 为初始测得的容量，(Q_k) 为循环 (k) 时的容量。
SOH 可以根据容量、电阻或两者共同定义，但在不同电芯、化学体系和测试方案之间，定义必须保持一致。
其他衰减指标
仅测量容量可能会掩盖重要的失效机制。设备还应跟踪：
- 欧姆电阻和内阻
- 极化电压
- 库仑效率
- 自放电电流
- 充电和放电能量
- 温度和热梯度
- 并联或模组配置中的电流不平衡
- 荷电状态和放电深度
这些变量可以用作容量衰减和 RUL 的预测变量，也可以作为独立的衰减输出。
测量质量和重复性
如果测量误差未知，就无法正确解读预测误差。因此，测试系统应支持校准检查、重复测量、同步采集电压-电流-温度数据，以及可追溯的充放电积分。
量化预测误差的指标
平均绝对误差
平均绝对误差（MAE）用于测量预测误差的平均幅度：
[ \text{MAE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|y_i-\hat{y}_i| ]
其中，(y_i) 为测量值，(\hat{y}_i) 为预测值。
MAE 的单位可以是 Ah、Wh、容量保持率百分点或 RUL 循环数，易于理解。它通常是传达典型预测准确度的最佳主要指标。
均方根误差
均方根误差（RMSE）为：
[ \text{RMSE}= \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2} ]
RMSE 会对较大的误差赋予更高权重。当模型偶尔产生严重的失效时间或容量预测误差时，这一指标非常有用。
RMSE 与 MAE 之间的差距较大，说明存在离群值或少量特别差的预测结果。
偏差和有符号误差
MAE 和 RMSE 无法表明模型是否持续高估或低估。还应报告平均误差或偏差：
[ \text{Bias}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\hat{y}_i-y_i) ]
对于电池寿命预测，系统性高估循环寿命通常比保守性低估更值得关注，因为这可能导致不安全或具有误导性的认证决策。
相对指标和归一化指标
比较不同容量或不同化学体系的电芯时，应使用归一化指标，例如：
[ \text{NRMSE}=\frac{\text{RMSE}}{\text{参考尺度}} ]
参考尺度可以是初始容量、观测到的容量范围或规定的工程容差。
应谨慎使用 MAPE。当目标值接近零时，MAPE 会变得不稳定，这可能发生在某些衰减或残差表达中。对于容量保持率和 RUL，MAE、RMSE、归一化误差和偏差通常更具合理性。
专门用于循环寿命和 RUL 预测的指标
预测寿命终止循环数的误差
定义一个工程寿命终止阈值，例如规定的容量保持率限值，并计算：
[ e_{\text{EOL}}=\hat{N}{\text{EOL}}-N{\text{EOL}} ]
报告各电芯 (e_{\text{EOL}}) 的MAE、RMSE、偏差和误差百分位数。
阈值必须在评估之前定义。在查看结果后更改阈值，可能会使报告的性能产生偏差。
多个预测时域下的预测
应在多个时间点评估预测结果，例如寿命早期、中期和后期。模型可能在寿命末期表现良好，但在早期筛选阶段表现较差，反之亦然。
有用的报告节点包括：
- 固定循环数后的误差
- 观测寿命固定比例处的误差
- 未来循环时预测容量的误差
- 不同观测时域下预测 RUL 的误差
阈值穿越准确度
对于认证决策，应评估模型能否正确识别将在规定循环窗口内穿越寿命终止阈值的电芯。
有用的指标包括精确率、召回率、假阳性率和假阴性率，尤其是在测试系统用于筛选或早期失效检测时。
量化不确定性的统计方法
正态分布区间
如果预测误差或 RUL 输出近似服从正态分布，则拟合的正态分布可以提供：
- 68% 区间，约为 (\mu \pm 1\sigma)
- 95% 区间，约为 (\mu \pm 1.96\sigma)
这些区间适用于简洁的工程报告，并与主要参考资料保持一致。
但是，应通过检验而不是假设来确认正态性。电池衰减数据可能具有偏态、厚尾、异方差，或在寿命终止阈值处被截断。
残差分析
计算残差：
[ r_i=y_i-\hat{y}_i ]
然后检查残差相对于以下变量的图表：
- 循环次数
- 预测容量或 RUL
- 温度
- C 倍率
- 放电深度
- 荷电状态
- 电芯化学体系和生产批次
应关注趋势、方差变化、自相关和离群值。方差稳定且随机分布的残差支持简单不确定性模型的有效性；具有结构性的残差则表明模型不充分或缺少物理变量。
自助法置信区间和预测区间
当电芯数量有限或残差分布不明显服从正态分布时，自助法重采样非常有用。
对电芯或测试轨迹进行重采样，重新拟合模型，并计算预测容量或 RUL 的分布。相关百分位数可以提供不确定性区间，而无需假设其服从正态分布。
重采样应遵循数据结构。例如，同一电芯的循环测量通常应作为一个整体进行重采样，而不是将其视为相互独立的观测值。
经验区间和基于分位数的区间
对于非正态的 RUL 分布，应报告经验百分位数，例如使用第 2.5 和第 97.5 百分位数构成 95% 区间。
分位数回归或其他条件分位数方法可以估计随循环次数、温度或运行条件变化的不确定性。当衰减方差在寿命后期增大时，这种方法通常更合适。
蒙特卡洛不确定性传播
当预测模型包含不确定参数时，例如内阻、衰减因子或容量衰减系数，应为每个参数分配测得的概率分布，并模拟许多可能的衰减轨迹。
生成的样本集合可以提供：
- 中位数预测值
- 68% 和 95% 预测区间
- 在规定循环数之前达到寿命终止阈值的概率
- 对各个不确定参数的敏感性
这直接采用了补充参考资料中的方法，即根据多个名义上相同的电芯推导参数概率密度函数。
分层模型和混合效应模型
对于多个电芯、批次、化学体系或制造条件的测试，应使用分层统计模型或混合效应模型。
这些模型可以区分：
- 电芯内变异
- 电芯间变异
- 批次间变异
- 测量噪声
- 依赖运行条件的衰减
这比将所有测量结果汇总为单一分布更有信息，因为它能够区分制造变异与普通的逐循环噪声。
置信区间与预测区间
不应混淆这两个术语：
- 置信区间描述估计平均值或模型参数时的不确定性。
- 预测区间描述未来测量值或电芯轨迹可能落入的范围。
对于电池认证和 RUL 预测，预测区间通常更为相关，因为决策关注的是未来电芯，而不仅仅是平均衰减曲线的不确定性。
如何验证不确定性估计
覆盖概率
名义为 95% 的预测区间，在重复评估案例中应包含约 95% 的未来观测结果。
测量所报告的 68% 和 95% 区间的实际覆盖率。如果 95% 区间仅包含 70% 的结果，则说明模型过于自信。
区间宽度
报告每个区间的平均宽度：
[ \text{区间宽度}=U_i-L_i ]
其中，(U_i) 和 (L_i) 分别为区间上限和下限。
区间较窄并不一定意味着更好。只有在保持适当覆盖率的情况下，窄区间才具有价值。
校准度和尖锐度
优秀的不确定性模型应同时具备：
- 校准度：其声明的概率与实际观测频率相符。
- 尖锐度：在保持校准的同时，区间尽可能窄。
应使用可靠性图、经验覆盖率曲线和区间评分来评估这种平衡。
依赖时间和条件的验证
应在不同温度、C 倍率、SoC 窗口和放电深度下分别评估不确定性。
在一种方案下校准的模型，应用于另一种方案时可能会过度自信。因此，验证必须与预期运行范围相匹配。
理解其中的权衡
MAE 与 RMSE
MAE 稳健且易于解释，而 RMSE 会强烈惩罚较大的误差。只报告 MAE 可能掩盖危险的离群值；只报告 RMSE 则可能因为少数极端结果而使一般性能显得更差。
应将两者与有符号偏差结合使用。
正态区间与经验区间
正态拟合简洁方便，尤其适用于重复电芯之间的变异近似对称的情况。当 RUL 分布偏态、有界、多峰或受早期失效影响时，正态拟合可能会产生误导。
只有在检查残差和结果分布之后，才能使用正态区间。否则，应使用自助法、经验百分位数、分位数回归或蒙特卡洛模拟。
更多测量次数与更多电芯
重复循环测量可以提高分辨率并降低单条轨迹的不确定性。要估计总体变异和制造分散程度，则需要更多相互独立的电芯。
对于涉及电芯群体的研发决策，独立电芯重复测试至关重要。
相关循环数据
同一电芯相邻循环的测量结果具有很强的相关性。将每个循环都视为独立样本，可能会产生人为偏窄的置信区间和夸大的统计显著性。
应使用电芯级重采样、相关误差模型或混合效应方法。
测量精度与模型不确定性
高分辨率电池循环测试仪可以降低仪器和积分误差，但不能消除电芯之间的物理变异。最终的不确定性应区分偶然变异（无法消除的电芯间变异）和认知不确定性（由数据有限或模型不完整造成）。
根据目标做出正确选择
应选择与测试系统需要支持的决策相匹配的指标和方法。
- 如果主要关注比较预测准确度：报告容量、SOH 和 RUL 的 MAE、RMSE、有符号偏差和归一化误差。
- 如果主要关注寿命终止认证：报告 EOL 循环误差、阈值穿越准确度，以及围绕失效循环数校准的预测区间。
- 如果主要关注比较不同化学体系或批次：使用分层模型或混合效应模型，区分电芯内、电芯间和批次变异。
- 如果主要关注不确定性感知的 RUL 预测：使用自助法或蒙特卡洛预测分布，并报告经验性的 68% 和 95% 区间。
- 如果主要关注验证区间质量：测量覆盖概率、区间宽度、校准度和尖锐度，而不是只依赖区间宽度。
- 如果主要关注设备和方案认证：在电压和电流之外，同时跟踪容量、电阻、库仑效率、自放电、温度、SOC 和极化。
一个具有说服力的电池研发流程，应结合准确的点预测、独立估计的电芯变异，以及通过未来循环数据验证其声明覆盖率的不确定性区间。
汇总表：
| 指标/方法 | 用途 | 关键要点 |
|---|---|---|
| MAE | 量化典型预测误差 | 平均绝对误差；易于解释；对离群值具有稳健性。 |
| RMSE | 惩罚较大误差 | 均方根误差；对离群值敏感；存在离群值时通常大于 MAE。 |
| 偏差 | 检测系统性高估或低估 | 平均有符号误差；对安全性很重要。 |
| 正态分布区间 | 提供不确定性估计 | 基于均值 ± 标准差的 68% 和 95% 区间；假设数据服从正态分布。 |
| 自助法区间 | 非参数不确定性估计 | 通过重采样数据估计区间；对非正态分布具有稳健性。 |
| 经验百分位数 | 直接估计分位数 | 使用第 2.5 和第 97.5 百分位数构成 95% 区间；无需假设分布形式。 |
| 蒙特卡洛传播 | 模拟参数不确定性 | 为模型参数分配分布；生成预测样本集合。 |
| 分层模型 | 划分变异来源 | 区分电芯、批次和测量变异。 |
| 覆盖概率 | 验证区间准确度 | 名义为 95% 的区间应包含约 95% 的实际结果。 |
| 区间宽度 | 评估尖锐度 | 在保持覆盖率的前提下，区间越窄越好。 |
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